Question

17．如图，在Rt△ABC中，AC=2，斜边AB=$\sqrt{13}$，延长AB到点D，使BD=AB，连接CD，则tan∠BCD=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 过点B作AC的平行线．交CD于E，由勾股定理求出BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3，由平行线分线段成比例定理得出CE=DE，与平行线的性质得出∠CBE=∠ACB=90°，证出BE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出BE=$\frac{1}{2}$AC=1，再由三角函数的定义即可得出结果．

解答 解：过点B作AC的平行线．交CD于E，如图所示：
在Rt△ABC中，AC=2，斜边AB=$\sqrt{13}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3，
∵BE∥AC，BD=AB，
∴CE=DE，∠CBE=∠ACB=90°，
∴BE是△ACD的中位线，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴tan∠BCD=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{1}{3}$；
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、三角函数等知识；通过作辅助线得出BE是三角形的中位线是解决问题的关键．