对某一个函数给出如下定义:如果存在实数M.对于任意的函数值y.都满足y≤M.那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M中.其最小值称为这个函数的上确界．例如.图中的函数是有上界函数.其上确界是2．(1)分别判断函数y=-$\frac{1}{x}$是不是有上界函数?如果是有上界函数.求其上确界,(2)如果函数y=-x+2的上确界是b.且这个函数的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．
（1）分别判断函数y=-$\frac{1}{x}$（x＜0）和y=2x-3（x＜2）是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；
（2）如果函数y=-x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；
（3）如果函数y=x²-2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．

分析（1）根据有界函数函数的定义和上确界定义分析即可；
（2）根据函数的上确界和函数增减性得到2-a=b，函数的最小值为2-b，根据b＞a，函数的最小值不超过2a+1，列不等式求解集即可；
（3）根据对称轴方程x=a和上确界为3，分类讨论a≤3时和a＞3时，列方程求解．

解答解：（1）根据有界函数定义，y=$\frac{1}{x}$（x＜0）不是有上界函数；y=2x-3（x＜2）是有上界函数，上确界是1；
（2）∵在y=-x+2中，y随x的增大而减小，
∴上确界为2-a，即2-a=b，
又b＞a，所以2-a＞a，解得a＜1，
∵函数的最小值是2-b，∴2-b≤2a+1，得a≤2a+1，解得a≥-1，
综上所述：-1≤a＜1；
（3）函数的对称轴为x=a，
①当a≤3时，函数的上确界是25-10a+2=27-10a，
∴27-10a=3，解得a=$\frac{12}{5}$，符合题意；
②当a＞3时，函数的上确界是1-2a+2=3-2a，
∴3-2a=3，解得a=0，不符合题意．
综上所述：a=$\frac{12}{5}$．

点评本题主要考查了对定义函数的理解和一次函数的性质的灵活运用；一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；能够正确理解有界函数和上确界是解决问题的关键．