Question

9．阅读下面解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，试判断△ABC的形状．
解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴…①
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²）…②
∴c²=a²+b²…③
∴△ABC为直角三角形
问：（1）上述解题过程从哪一步开始出现错误，写出该步骤的代号．
（2）请写出正确的解答过程．

Answer 1

分析 （1）两边都除以a²-b²，而a²-b²的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
（2）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论

解答 解：（1）上述解题过程从第③步开始出现错误，该步骤的代号为③；
（2）∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），
∴a²-b²=0或c²=a²+b²，
当a²-b²=0时，a=b；
当c²=a²+b²时，∠C=90°，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

点评 本题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理的应用，分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．