Question

17．如图，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AD=BC，P是CD上任意一点，过点P作AD、BC的平行线，分别交对角线AC、BD于点E、F，求证：PE+PF=AD．

Answer 1

分析 由P是CD上任意一点，过点P作AD、BC的平行线，易得△PDF∽△CDB，△PCE∽△DCA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得$\frac{PF}{BC}$=$\frac{PD}{CD}$，$\frac{PE}{AD}$=$\frac{PC}{CD}$，又由AD=BC，即可证得结论．

解答 证明：∵PF∥BC，OE∥AD，
∴△PDF∽△CDB，△PCE∽△DCA，
∴$\frac{PF}{BC}$=$\frac{PD}{CD}$，$\frac{PE}{AD}$=$\frac{PC}{CD}$，
∴PF=$\frac{PD•BC}{CD}$，PE=$\frac{PC•AD}{CD}$，
∵AD=BC，
∴PE+PF=$\frac{PD•BC+PC•AD}{CD}$=$\frac{AD•（PC+PD）}{CD}$=$\frac{AD•CD}{CD}$=AD．

点评 此题考查了梯形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意证得△PDF∽△CDB，△PCE∽△DCA是解此题的关键．