Question

16．如图：在平面直角坐标系中，A（a，0），D（6，4），将线段AD平移到BC，使B（0，b），且a，b满足|2-a|+$\sqrt{6+b}$=0
（1）求A点、B点的坐标；
（2）设点M（-3，n）且三角形ABM的面积为16，求n的值；
（3）若∠DAO=150°，设点P是x轴上的一动点（不与点A重合），问∠APC与∠PCB存在什么具体的数量关系？写出你的证明结论并证明．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质即可得到结果；
（2）根据勾股定理求得AB的长度，求出直线AB的解析式，然后根据点到直线的距离即可得到结果；
（3）分两种情况：①当点P在点A的右侧如图1，连接PC，延长BC交x轴于E，②当点P在点A的左侧如图2，连接PC，延长DA交PC于F，根据平移的性质和外角的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵a，b满足|2-a|+$\sqrt{6+b}$=0，
∴2-a=0，6+b=0，
∴a=2，b=-6，
∴A（2，0），B（0，-6）；

（2）由（1）得A（2，0），B（0，-6），
∴OA=2，OB=6，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵三角形ABM的面积为16，
∴点M到直线AB的距离为：$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
∴直线AB的解析式为：y=3x-6，
根据点到直线的距离得：$\frac{|3×（-3）-n-6|}{\sqrt{{3}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
解得：n=1或n=-31；

（3）①当点P在点A的右侧如图1，连接PC，延长BC交x轴于E，
∵AD平移到BC，
∴AD∥BC，
∵∠DAO=150°，
∴∠DAE=30°，
∵∠AEC=30°，
∴∠PCE=∠APC-30°，
∵∠PCB+∠PCE=∠PCB+∠APC-30°=180°，
∴∠PCB+∠APC=210°；
②当点P在点A的左侧如图2，连接PC，延长DA交PC于F，
∵∠DAO=150°，
∴∠PAF=30°，
∵AD∥BC，
∴∠AFC=∠PCB，
∵∠AFC=∠APC+30°，
∴∠PCB-∠APC=30°；
③当p在直线BC与x轴交点的右侧时，
∵∠DAO=150°，
∴∠DAP=30°，
∴∠OEC=30°，
∴∠ECP=30°-∠APC，
∴∠BCP=180°-∠ECP=150°+∠APC，
∴∠BCP-∠APC=150°．

点评 本题考查了坐标与图形的关系，平移的性质，三角形的面积，勾股定理，点到直线的距离公式，正确的画出图形是解题的关键．