Question

2．如图，四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动的过程中，始终有EH∥BD∥FG，且EH=FG，四边形EFGH的周长为$2\sqrt{2}a$，那么正方形ABCD的周长为4a．

Answer 1

分析 先证明△AEH，△CFG都是等腰直角三角形，证明△AEH≌△CFG得AE=AH=FC=CG，根据EH=$\sqrt{2}$AE，EF=$\sqrt{2}$EB，得EF+EH=$\sqrt{2}$AB由此即可解决问题．

解答 解：∵EH∥FG，且EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABD=45°，∠A=∠C=∠ABC=90°
∵EH∥BD，
∴∠AEH=∠ABD=∠AHE=45°，
同理∠GFC=∠FGC=45°，
在△AEH和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠AEH=∠CFG}\\{EH=FG}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CFG，
∴AE=CF=AH=CG，
∴BE=EF，
∵EH=$\sqrt{2}$AE，EF=$\sqrt{2}$BE，
∴EH+EF=$\sqrt{2}$（AE+EB）=$\sqrt{2}$AB，
∵EH+EF=$\sqrt{2}$a，
∴AB=a，
∴正方形周长为4a．
故答案为4a．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题关键是利用三角形全等，学会利用特殊三角形的边之间的关系解决问题，属于中考常考题型．