Question

15．如图，AB是⊙O的半径，点P是BA延长线上一点，PE切⊙O于点D，延长PB至C，PA：AB：BC=1：3：1，则sin∠CDE的值为（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{13}}{13}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{13}}{13}$

Answer 1

分析 连接AD，OD，作CM⊥PD于M，根据切线的性质得到OD⊥PD，于是得到OD∥CM，根据相似三角形的性质得到$\frac{OD}{CM}=\frac{PO}{PC}=\frac{1}{2}=\frac{PD}{PM}$，根据勾股定理得到PM=$\sqrt{P{C}^{2}-C{M}^{2}}$=4x然后又三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：连接AD，OD，作CM⊥PD于M，
∵PE切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∴OD∥CM，
设PA=x，AB=3x，BC=x，
∴AO=BO=DO=1.5x，PO=2.5x，PC=5x，
∴OD∥CM，
∴△POD∽△PCM，
∴$\frac{OD}{CM}=\frac{PO}{PC}=\frac{1}{2}=\frac{PD}{PM}$，
∴CM=2OD=3x，
∴PM=$\sqrt{P{C}^{2}-C{M}^{2}}$=4x，
∴CD=$\sqrt{13}$x，
∴sin∠CDE=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
故选D．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．