Question

4．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=80°，AD为∠BAC的角平分线，G、E分别是AC、BG的中点，AF⊥BC于F．求：
（Ⅰ）∠ABC的大小； 
（Ⅱ）∠DAF的大小； 
（Ⅲ）△AEC的面积与△ABE的面积的比值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角形的内角和即可得到结论；
（Ⅱ）由AD为∠BAC的角平分线，得到∠BAD=$\frac{1}{2}∠BAC=40°$，由三角形外角的性质得到∠ADB=∠ABC+∠BAD=80°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（Ⅲ）根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=80°，
∴∠ABC=180°-60°-80°=40°；
（Ⅱ）∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}∠BAC=40°$，
∴∠ADB=∠ABC+∠BAD=80°，
∵AF⊥BC，
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF=10°，
（Ⅲ）∵G、E分别是AC、BG的中点，
∴△AEC的面积=$\frac{1}{2}$S_△ABC，△ABE的面积=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴△AEC的面积与△ABE的面积的比值=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．