如图.在平面直角坐标系xOy中.四边形OABC是平行四边形.A.C两点的坐标分别为.抛物线经过O.A.C三点.D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标,(2)将抛物线和□OABC一起先向右平移4个单位后.再向上平移m个单位.得到一条新的抛物线和?O′A′B′C′.在向上平移的过程中.设?O′A′B′C′与□OABC的重叠部分的面积为S.试探究:当m为何值时S有最� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（-2，-3），抛物线经过O、A、C三点，D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线和□OABC一起先向右平移4个单位后，再向上平移m（0＜m＜4）个单位，得到一条新的抛物线和?O′A′B′C′，在向上平移的过程中，设?O′A′B′C′与□OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线的顶点为E，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线上的一动点，且在x轴上方，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出顶点D的坐标；
（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如图2，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值；
（3）本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点N在x轴上方、下方两种情况，分类讨论，避免漏解．设M（t，0），利用全等三角形求出点N的坐标，代入抛物线W′的解析式求出t的值，从而求得点M的坐标．

解答解：（1）设抛物线W的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、C（-2，-3）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线W的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+x，
∴顶点D的坐标为（2，1）．
（2）由?OABC得，CB∥OA，CB=OA=4．
又∵C点坐标为（-2，-3），
∴B点的坐标为（2，-3）．
如图1，

过点B作BE'⊥x轴于点E'，由平移可知，点C′在BE'上，且BC′=m．
∴BE'=3，OE'=2，∴E'A=OA-OE'=2．
∵C′B′∥x轴，
∴△BC′G∽△BE'A，
∴$\frac{BC'}{BE'}=\frac{C'G}{E'A}$，
∴$\frac{m}{3}=\frac{C′G}{2}$，
∴C′G=$\frac{2}{3}$m．
由平移知，?O′A′B′C′与?OABC的重叠部分四边形C′FAG是平行四边形．
∴S=C′G•C′E'=$\frac{2}{3}$m（3-m）=-$\frac{2}{3}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S有最大值为$\frac{3}{2}$．

（3）答：存在．
在（2）的条件下，抛物线W向右平移4个单位，再向上平移$\frac{3}{2}$个单位，得到抛物线W′，
∵D（2，1），∴E（6，$\frac{5}{2}$）；
∴抛物线W′的解析式为：y=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+$\frac{5}{2}$．
设M（t，0），
以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
①若点N在x轴下方，如图2所示：

过点D作DP∥y轴，过点F作FP⊥DP于点P，
∵D（2，1），F（6，$\frac{5}{2}$），∴DP=$\frac{3}{2}$，FP=4；
过点N作NQ⊥x轴于点Q，
由四边形EDMN为平行四边形，易证△DEP≌△NMQ，
∴MQ=EP=4，NQ=DP=$\frac{3}{2}$，
∴N（4+t，$\frac{3}{2}$），
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+$\frac{5}{2}$，得：-$\frac{1}{4}$（t-2）²+$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
解得：t=0或t=4，
∴点M的坐标为（0，0）或（4，0），
②若点N在x轴上方，
与①同理，得N（t-4，-$\frac{3}{2}$）
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+$\frac{5}{2}$，得：-$\frac{1}{4}$（t-10）²+$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
解得：t=6或t=14，
∴点M的坐标为（6，0）或（14，0）．
综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．