Question

6．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交DC于点E，交AD延长线于点F，则图中阴影部分的面积为8-4$\sqrt{3}$+$\frac{4}{3}$π．

Answer 1

分析 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED=30°，进而求得∠1=60°；由勾股定理求出DE，再根据阴影FDE的面积S₁=S_扇形AEF-S_△ADE、阴影ECB的面积S₂=S_矩形-S_△ADE-S_扇形ABE列式计算即可得解．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，
∴AB=2DA，AB=AE（扇形的半径），
∴AE=2DA，
∴∠AED=30°，
∴∠1=90°-30°=60°，
∵DA=2
∴AB=2DA=4，
∴AE=4，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-D{A}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴阴影FDE的面积S₁=S_扇形AEF-S_△ADE=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$π-2$\sqrt{3}$．
阴影ECB的面积S₂=S_矩形-S_△ADE-S_扇形ABE=2×4-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{30π×{4}^{2}}{360}$=8-2$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π；．
则图中阴影部分的面积为=8-2$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π+$\frac{8}{3}$π-2$\sqrt{3}$=8-4$\sqrt{3}$+$\frac{4}{3}$π．
故答案为：8-4$\sqrt{3}$+$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出∠AED=30°是解题的关键，也是本题的难点．