Question

6．观察下列等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…
（1）请直接写出$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$的结果，并证明这个等式．
（2）根据（1）中的等式计算：
①$\frac{13}{143}$-$\frac{13}{144}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{99×100}$；
（3）先化简，再求值：$\frac{100}{1×2}$+$\frac{100}{2×3}$+$\frac{100}{3×4}$+…$\frac{100}{n（n+1）}$，其中n=999．

Answer 1

分析 （1）通过前面的等式的特点，直接得到结果，利用分式的加减证明结论；
（2）利用等式的变形计算各题；
（3）提出100后，利用（1）的结论代入求值．

解答 解：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$．
证明：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n+1}{n（n+1）}-\frac{n}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）
①$\frac{13}{143}$-$\frac{13}{144}$
=13（$\frac{1}{143}-\frac{1}{144}$）
=13×$\frac{1}{143×144}$
=$\frac{1}{1584}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{99×100}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$
=1-$\frac{1}{100}$
=$\frac{99}{100}$．
（3）$\frac{100}{1×2}$+$\frac{100}{2×3}$+$\frac{100}{3×4}$+…$\frac{100}{n（n+1）}$
=100（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$）
=100（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=100（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{100n}{n+1}$
当n=999时，原式=$\frac{999×100}{999+1}$
=$\frac{999}{10}$．

点评 本题考查了等式变形及应用．灵活运用$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$是解决本题的关键．