Question

16．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（3）当OD与AC满足怎样的数量关系时，四边形ABCD是矩形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AAS或ASA即可证明；
（2）只要证明OD=OB，OA=OC即可解决问题．
（3）根据对角线相等的四边形是矩形即可解决问题；

解答 （1）证明：∵点O是AC中点，
∴OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵DF∥BE，
∴∠OEB=∠OFE，
在△BOE和△DOF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEB=∠OFD}\\{∠BOE=∠DOF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF，

（2）∵△BOE≌△DOF，
∴OD=OB，∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．

（3）结论：当OD=$\frac{1}{2}$AC时，四边形ABCD是矩形．
理由：∵OD=$\frac{1}{2}$AC，OD=OB，
∴BD=AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．

点评 此题是平行四边形的判定，主要考查了线段的中点，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断△BOE≌△DOF．