Question

2．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AC=BD，∠CAD=30°，∠ACB=40°，则∠ABC=40°．

Answer 1

分析 作辅助线，构建两个三角形全等，证明△AEB≌△ADC，可以得∠ABC=∠ACB=40°．

解答 解：在BC上取一点E，使EC=AC，
∴∠AEC=∠EAC，
∵∠ACB=40°，
∴∠AEC=∠EAC=$\frac{180°-40°}{2}$=70°，
∵AC=EC，BD=AC，
∴BD=EC，
∴BD-DE=EC-ED，
∴BE=DC，
∵∠DAC=30°，
∴∠ADB=∠DAC+∠ACB=30°+40°=70°，
∴∠AEC=∠ADB=70°，
∴AE=AD，∠AEB=∠ADC，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠ABC=∠ACB=40°，
故答案为：40°．

点评 本题考查了全等三角形、等腰三角形的性质和判定、外角定理，辅助线的作出是本题的关键，∠AEC和∠ADB相等的证明是本题的突破口，利用等腰三角形等角对等边和等角的补角相等得出证明三角形全等的边和角，从而使问题得以解决．