如图.在等腰直角三角形ABC中.∠BAC=90°.AC=8$\sqrt{2}$cm.AD⊥BC于点D.点P从点A出发.沿A→C方向以$\sqrt{2}$cm/s的速度运动到点C停止.在运动过程中.过点P作PQ∥AB交BC于点Q.以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM.且∠PQM=90°．设点P的运动时间为x(s).△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2)(1)当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8$\sqrt{2}$cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以$\sqrt{2}$cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm²）
（1）当点M落在AB上时，x=4；
（2）当点M落在AD上时，x=$\frac{16}{3}$；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

分析（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，由此即可解决问题．
（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E，先证明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得$\frac{PA}{AC}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{2}{3}$，由此即可解决问题．
（3）分三种情形①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，②当4＜x≤$\frac{16}{3}$时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．③当$\frac{16}{3}$＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，分别计算即可解决问题．

解答解：（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，AP=CP=4$\sqrt{2}$，所以x=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=4．
故答案为4．
（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E．

∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC
∴DQ=QE=EC，
∵PE∥AD，
∴$\frac{PA}{AC}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{2}{3}$，∵AC=8$\sqrt{2}$，
∴PA=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
∴x=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$÷$\sqrt{2}$=$\frac{16}{3}$．
故答案为$\frac{16}{3}$．
（3）①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，

∵AP=$\sqrt{2}$x，
∴EF=PE=x，
∴y=S_△PEF=$\frac{1}{2}$•PE•EF=$\frac{1}{2}$x²．
②当4＜x≤$\frac{16}{3}$时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．

∵PQ=PC=8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x，
∴PM=16-2x，∴ME=PM-PE=16-3x，
∴y=S_△PMQ-S_△MEG=$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x）²-$\frac{1}{2}$（16-3x）²=-$\frac{7}{2}$x²+32x-64．

③当$\frac{16}{3}$＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，
∴y=S_△PMQ=$\frac{1}{2}$PQ²=$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x）²=x²-16x+64．
综上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}}&{（0＜x≤4）}\\{-\frac{7}{2}{x}^{2}+32x-64}&{（4＜x≤\frac{16}{3}）}\\{{x}^{2}-16x+64}&{（\frac{16}{3}＜x＜8）}\end{array}\right.$．

点评本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、分段函数、三角形面积等知识，解题的关键是正确画出图象，学会分类讨论，属于中考压轴题．

试题分类