Question

15．如图，抛物线y=a（x-1）²-n与直线y=2x+b相交于点A（-1，0）和点B（m，12）．
（1）试确定该二次函数的表达式；
（2）若抛物线y=a（x-1）²-n的顶点为C，求△ABC的面积；
（3）若点P是抛物线y=a（x-1）²-n上点C-点B部分（不含点B和点C）的一动点，当四边形ABPC的面积达到最大时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点代入直线解析式可求得b的值，再把B点坐标代入直线解析可求得B点坐标，利用待定系数法可求得二次函数的表达式；
（2）可先求得C点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式，设直线BC与x轴交于点D，可求得D点的坐标，从而可求得△ABC的面积；
（3）当直线BC向右平移与抛物线有唯一的公共点时，四边形ABPC的面积最大，可设平移后的直线解析式为y=4x+h，联立抛物线与该方程整理得到一元二次方程，方程有唯一解可求得方程的解，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵点A（-1，0）在直线y=2x+b上，
∴0=-2+b，解得b=2，
∴一次函数解析式为y=2x+2，
∵点B（m，12）在直线y=2x+2上，
∴2m+2=12，解得m=5，
∴B点坐标为（5，12），
∵抛物线y=a（x-1）²-n过A、B两点，
∴把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=（-1-1）^{2}a-n}\\{12=（5-1）^{2}a-n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线表达式为：y=（x-1）²-4；
（2）如图1，设直线BC与x轴交于点D，

由（1）可知C点坐标为（1，-4），设直线BC为y=kx+c，
根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}{-4=k+c}\\{12=5k+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=4x-8，令y=0，可解得x=2，
∴D点坐标为（2，0），则AD=3，
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×12=24；
（3）当直线BC向右平移与抛物线有唯一的公共点时，四边形ABPC的面积最大，
∵直线BC解析式为y=4x-8，
∴可设平移后的直线解析式为y=4x+h，
根据题意可得方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=（x-1）^{2}-4}\\{y=4x+h}\end{array}\right.$有唯一的解，
∴方程x²-6x-3-h=0有唯一的解，
∴（-6）²-4×1×（-3-h）=0，解得h=-12，
此时方程x²-6x+9=0的唯一解为x=3，
当x=3时，代入抛物线可知y=0，
∴P点坐标为（3，0），
即当P点坐标为（3，0）时，四边形ABPC的面积最大．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、三角形的面积、一元二次方程及判别式等．在（1）中注意点的坐标与函数解析式的关系，在（2）中求得D点的坐标是解题的关键，注意图形的分割，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合较强，特别是第（3）问中P点位置的确定难度很大．