Question

10．如图，四边形EFGH与四边形ABCD均为矩形，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且EF=3HE，AB=2BC，则tan∠AHE=（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{6}$
• C． $\frac{2}{7}$
• D． $\frac{3}{10}$

Answer 1

分析 根据四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是矩形得到∠A=∠B=∠C=90°，∠HEF=90°，HE=GF，证得△AEH≌△CGF，于是得到CF=AH，由于△AEH∽△BEF，根据相似得出$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AH}{BE}$=$\frac{EH}{EF}$=$\frac{1}{3}$，求出BF=3AE，CF=AH=$\frac{1}{3}$BE，根据AB=2BC求出3AE+$\frac{1}{3}$BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$（AE+BE），求出BE=15AE，AH=5AE，即可得出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠HEF=90°，HE=GF，
∴∠AEH+∠BEF=∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEH=∠BFE，
同理∠AEH=∠FGC，
在△AEH与△CGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C=90°}\\{∠AEH=∠CGF}\\{EH=GF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CGF，
∴CF=AH，
∵∠AEH=∠BFE，∠A=∠B，
∴△AEH∽△BEF，
∵EF=3HE，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AH}{BE}$=$\frac{EH}{EF}$=$\frac{1}{3}$，
∴BF=3AE，CF=AH=$\frac{1}{3}$BE，
∴3AE+$\frac{1}{3}$BE=BF+CF=BC，
∵AB=2BC，
∴AE=∵AB=2BC，
∴3AE+$\frac{1}{3}$BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$（AE+BE），
即BE=15AE，
∵$\frac{AH}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
∴AH=5AE，
∴tan∠AHE=$\frac{AE}{AH}$=$\frac{1}{5}$，
故选A．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用定理进行推理是解题的关键．