Question

5．如图，已知一次函数y=kx+b的图象和反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象相交于A（3，m），B（n，-3）两点
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）根据函数图象，写出使反比例函数值小于一次函数值的x值的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标代入反比例函数解析式求出m、n的值，从而得到点A、B，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）根据一次函数解析式求出OC的长，再根据△OAB的面积=△OCB的面积+△OAC的面积列式计算即可得解．
（3）由A与B的横坐标，利用函数图象即可求出满足题意x的范围．

解答 解：（1）∵点A（3，m），B（n，-3）在$y=\frac{3}{x}$的图象上，
∴m=1，n=-1
∴点A、B的坐标分别为A（3，1）、B（-1，-3）
∵点A（3，1）、B（-1，-3）在一次函数y=kx+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}3k+b=1\\-k+b=-3\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-2\end{array}\right.$
∴此一次函数的解析式为y=x-2
（2）设直线AB与y轴交于点C
由直线AB的解析式y=x-2，当x=0时，y=-2，
∴OC=|-2|=2．
所以${S_{△AOB}}={S_{△OBC}}+{S_{△OAC}}=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×3=4$．
（2）∵A（3，1）、B（-1，-3），
∴由函数图象得：反比例函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围为x＞3或-1＜x＜0．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．