Question

10．浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．
（1）写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？
（3）商店的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；
方案B：为了满足市场需要，每天的销售量不少于120件．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）分别求出方案A、B中x的取值，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．

解答 解：（1）由题意得，销售量=150-10（x-30）=-10x+450，
则w=（x-25）（-10x+450）
=-10x²+700x-11250；

（2）w=-10x²+700x-11250=-10（x-35）²+1000，
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，w_最大=1000元，
故当单价为35元时，该计算器每天的利润最大；

（3）B方案利润高．理由如下：
A方案中：∵25×24%=6，
此时w_A=6×（150-10）=840元，
B方案中：每天的销售量为120件，单价为33元，
∴最大利润是120×（33-25）=960元，
此时w_B=960元，
∵w_B＞w_A，
∴B方案利润更高．

点评 本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-$\frac{b}{2a}$时取得．