Question

9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△AFE≌△DBE；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF是不是菱形？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质可得∠AFE=∠DBE，然后利用AAS判定△AFE≌△DBE即可；
（2）首先证明四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，进而可得四边形ADCF是菱形．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠FEA=∠BED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AFE≌△DBE，
∴AF=BD，
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=DC
∴AF=DC．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，全等三角形对应边相等．