Question

15．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于O；下列结论：
（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AD=OE；（4）S_△AOB=S_{四边形DEOF}．
其中正确的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 首先利用全等三角形的判定方法利用SAS证明△BAF≌△ADE，即可得出AE=BF，进而得出∠BFA+∠EAD=90°，即AE⊥BF，利用三角形全等即面积相等，都减去公共面积剩余部分仍然相等，即可得出D正确，过点E作EG⊥AB交BF与点H．然后依据直角三角形中斜边大于任何一条直角边进行判断即可．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°．
∵CE=DF，
∴AF=DE．
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAF=∠ADE}\\{AF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE．
∴AE=BF，故（1）正确．
∵△ABF≌△DAE，
∴∠AFB=∠AED．
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠AFB+∠DAE=90°，
∴∠AOF=90°，即AE⊥BF，故（2）正确．
∵△ABF≌△DAE，
∴S_△ABF=S_△ADE．
∴S_△AOB=S_△ABF-S_△AOF，S_{四边形DEOF}=S_△ADE-S_△AOF，即∴S_△AOB=S_{四边形DEOF}．
如图所示：过点E作EG⊥AB，则EG=AD．

∵HE＞OE，GE＞HE，
∴GE＞OE．
∴AD＞OE，故（3）错误．
故选：B．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和反证法的应用等知识，得出△BAF≌△ADE，从而得出相应等量关系是解决问题的关键．