Question

5．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=a，将纸片沿对角线BD对折，BC边与AD边交于点F，此时AF=BF=AB．
求：（1）BC的长；
（2）重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质以及等边三角形的性质，即可得到∠E=∠EFD，进而得出DE=DF=a，即AD=2a，再根据四边形ABCD是平行四边形，即可得到BC=AD=2a；
（2）先过BG⊥AD于G，求得BG=$\sqrt{3}$AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，再根据S_△BDF=$\frac{1}{2}$DF×BG进行计算即可．

解答 解：（1）由折叠可得，DE=DC=AB=a，∠C=∠E=∠A，
∵AF=BF=AB，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠A=∠AFB=∠DFE，AF=AB=a，
∴∠E=∠EFD，
∴DE=DF=a，
∴AD=2a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2a；

（2）过BG⊥AD于G，则∠ABG=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
∴BG=$\sqrt{3}$AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}$DF×BG=$\frac{1}{2}$a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
即重叠部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．

点评 本题主要考查了折叠问题，等边三角形的性质以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．