Question

4．如图，CD是△ABC的中线，CD⊥CB，∠ACD=30°，求证：AC=2BC．

Answer 1

分析 延长CD至E，使DE=DC，连接BE；由SAS证明△BDE≌△ADC，得出BE=AC，∠E=∠ACD=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BE=2BC，即可得出AC=2BC．

解答 证明：延长CD至E，使DE=DC，连接BE，如图所示：
∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD，
在△BDE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}&{\;}\\{∠BDE=∠ADC}&{\;}\\{DE=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE=AC，∠E=∠ACD=30°，
∵CD⊥CB，
∴∠BCE=90°，
∴BE=2BC，
∴AC=2BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；通过作辅助线构造三角形全等是解决问题的关键．