Question

17．如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是（5，2），点P是CB边上一动点（不与点C、点B重合），连结OP、AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP=∠COM，令CP=x，MP=y．
（1）当x为何值时，OP⊥AP？
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积？若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理证明△OPC∽△PAB，根据相似三角形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可；
（2）证明△OCM∽△PCO，根据相似三角形的性质列出比例式即可求解；
（3）过E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，根据题意得到△EOA的面积=矩形OABC的面积，求出ED的长，根据相似三角形的性质求出PM，由（2）的解析式计算即可．

解答 解：（1）由题意知，OA=BC=5，AB=OC=2，∠B=∠OCM=90°，BC∥OA，
∵OP⊥AP，
∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°，
∴∠OPC=∠PAB，
∴△OPC∽△PAB，
∴$\frac{CP}{AB}=\frac{OC}{PB}$，即$\frac{x}{2}=\frac{2}{5-x}$，
解得x₁=4，x₂=1（不合题意，舍去）．
∴当x=4时，OP⊥AP；
（2）∵BC∥OA，
∴∠CPO=∠AOP，
∵∠AOP=∠COM，
∴∠COM=∠CPO，
∵∠OCM=∠PCO，
∴△OCM∽△PCO，
∴$\frac{CM}{CO}=\frac{CO}{CP}$，即$\frac{x-y}{2}=\frac{2}{x}$，
∴$y=x-\frac{4}{x}$，x的取值范围是2＜x＜5；
（3）假设存在x符合题意，
过E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF=AB=2，
∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，
∴${S_{△EOA}}={S_{矩OABC}}=2×5=\frac{1}{2}×5ED$，
∴ED=4，EF=2，
∵PM∥OA，
∴△EMP∽△EOA，
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{MP}{OA}$，即$\frac{2}{4}=\frac{y}{5}$，
解得$y=\frac{5}{2}$，
∴由（2）$y=x-\frac{4}{x}$得，$x-\frac{4}{x}=\frac{5}{2}$，
解得${x_1}=\frac{{5+\sqrt{89}}}{4}，{x_2}=\frac{{5-\sqrt{89}}}{4}$（不合题意舍去），
∴在点P的运动过程中，存在$x=\frac{{5+\sqrt{89}}}{4}$，使△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积．

点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及函数解析式的确定，掌握矩形的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．