Question

19．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的点，AF、DE相交于点G．如图1，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF．

（1）如图1线段AF与DE有怎样的数量关系和位置关系？（直接写出结论，不必证明）
（2）如图2，在（1）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、”中的哪一种，并写出证明过程．

Answer 1

分析 （1）由已知得四边形ABCD为正方形，证明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；进而得出AF⊥DE；
（2）首先根据题意证明四边形MNPQ是菱形，然后又因为AF⊥DE，得出四边形MNPQ为正方形．

解答 解：（1）AF=DE，且AF⊥DE．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，
在Rt△ADF和Rt△ECD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADC=∠DCB}\\{CE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），
∴AF=DE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE；

（2）结论：四边形MNPQ是正方形．
证明：∵AM=ME，AQ=QD，
∴MQ∥DE且MQ=$\frac{1}{2}$DE，
同理可证：PN∥DE，PN=$\frac{1}{2}$DE；MN∥AF，MN=$\frac{1}{2}$AF；PQ∥AF，PQ=$\frac{1}{2}$AF；
∵AF=DE，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四边形MNPQ是菱形，
又∵AF⊥DE，
∴∠MQP=90°，
∴四边形MNPQ是正方形．

点评 本题考查的是中点四边形，需要掌握全等三角形的判定，正方形的判定以及正方形的性质，难度一般．