Question

9．如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l₂：y=$\frac{1}{2}$x交于点A．
（1）求出点A的坐标．
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立两直线解析式求出A的坐标即可；
（2）根据D在直线OA上，设出D坐标，表示出三角形COD面积，把已知面积代入求出x的值，确定出D坐标，利用待定系数法求出CD解析式即可；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：（i）当四边形OP₁Q₁C为菱形时，由∠COP₁=90°，得到四边形OP₁Q₁C为正方形；（ii）当四边形OP₂CQ₂为菱形时；（iii）当四边形OQ₃P₃C为菱形时；分别求出P坐标即可．

解答 解：
（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+6}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（6，3）；
（2）设D（x，$\frac{1}{2}$x），
∵△COD的面积为12，
∴$\frac{1}{2}$×6×x=12，
解得：x=4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y=kx+b，
把C（0，6），D（4，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6=b}\\{2=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=-x+6；
（3）在直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+6中，当y=0时，x=12，
∴C（0，6），
存在点P，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，

如图所示，分三种情况考虑：
（i）当四边形OP₁Q₁C为菱形时，由∠COP₁=90°，得到四边形OP₁Q₁C为正方形，此时OP₁=OC=6，即P₁（6，0）；
（ii）当四边形OP₂CQ₂为菱形时，由C坐标为（0，6），得到P₂纵坐标为3，
把y=3代入直线直线CQ的解析式y=-x+6中，可得3=-x+6，解得x=3，此时P₂（3，-3）；
（iii）当四边形OQ₃P₃C为菱形时，则有OQ₃=OC=CP₃=P₃Q₃=6，设P₃（x，-x+6），
∴x²+（-x+6-6）²=6²，解得x=3$\sqrt{2}$或x=-3$\sqrt{2}$（舍去），此时P₃（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$+6）；
综上可知存在满足条件的点的P，其坐标为（6，0）或（3，-3）或（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$+6）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、菱形的性质及分类讨论思想等．在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．