Question

13．已知f（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，当x分别取值$\frac{1}{2016}$，$\frac{1}{2015}$，…，$\frac{1}{2}$，1，2，…，2015，求．f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{1}{2015}$）+…+f（$\frac{1}{2}$）+F（1）+f（2）…+f（2015）+f（2016）．

Answer 1

分析 分别求出f（2）+f（$\frac{1}{2}$）、f（3）+f（$\frac{1}{3}$）、f（4）+f（$\frac{1}{4}$）的值，根据值的变化找出规律“f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=0（n为正整数，且n＞1）”，依据该规律即可解决问题．

解答 解：观察，发现规律：f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-{2}^{2}}{1+{2}^{2}}$+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=-$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{5}$=0，f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1-{3}^{2}}{1+{3}^{2}}$+$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{2}}{1+（\frac{1}{3}）^{2}}$=-$\frac{4}{5}$+$\frac{4}{5}$=0，f（4）+f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1-{4}^{2}}{1+{4}^{2}}$+$\frac{1-（\frac{1}{4}）^{2}}{1+（\frac{1}{4}）^{2}}$=-$\frac{15}{17}$+$\frac{15}{17}$=0，…，
∴f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=0（n为正整数，且n＞1）．
∴f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{1}{2015}$）+…+f（$\frac{1}{2}$）+F（1）+f（2）…+f（2015）+f（2016），
=f（$\frac{1}{2016}$）+f（2016）+f（$\frac{1}{2015}$）+f（2015）+…+f（$\frac{1}{2}$）+f（2）+f（1），
=0．

点评 本题属于规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出规律“f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=0（n为正整数，且n＞1）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，列出部分f（x）+f（$\frac{1}{x}$）的值，根据值的变化找出规律是关键．