Question

6．如图在△ABC中，D为BC上一点，且BD=2CD．
（1）如图1，若∠BAC=90°，AB=AC=6，求AD；
（2）如图2，若∠BAC=105°，∠CAD=30°，求$\frac{AD}{AC}$的值；
（3）如图3，若∠BAC=120°，∠CAD=30°，点E在AD的延长线上，且∠ACE=75°，BE=2$\sqrt{6}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DM⊥AB于M．易知△BDM是等腰直角三角形，可得BM=DM，由DM∥AC，推出$\frac{BD}{BC}$=$\frac{DM}{AC}$=$\frac{2}{3}$，推出DM=4，推出BM=DM=4，AM=2，在Rt△ADM中，根据AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$计算即可解决问题．
（2）如图2中，作CM∥AD交BA的延长线于M．首先证明AC=CM，由AD∥CM，可得$\frac{AD}{CM}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，由此即可解决问题；
（3）作CM∥AD交BA的延长线于M．只要证明AC=AE=AB，求出AB，即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，作DM⊥AB于M．

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴BM=DM，
∵DM∥AC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{DM}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴DM=4，
∴BM=DM=4，AM=2，
在Rt△ADM中，AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

（2）如图2中，作CM∥AD交BA的延长线于M

∵∠BAC=105°，∠DAC=30°，
∴∠BAD=75°，∠CAM=75°，
∵AD∥CM，
∴∠M=∠BAD=75°，
∴∠M=∠CAM，
∴AC=CM，
∵AD∥CM，
∴$\frac{AD}{CM}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{3}$．

（3）作CM∥AD交BA的延长线于M．

∵∠BAC=120°，∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠M=90°，
∵∠ACE=75°，∠CAE=30°，
∴∠AEC=∠ACE=75°，
∴AC=AE，
在Rt△ACM中，设AM=a，则AC=2a，
∵AD∥CM，
∴AB：BM=BD：BC=2：3，
∴AB=2a=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABD=30°，
在Rt△ABE中，AB=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ABD中，AD=AB•tan30°=2．

点评 本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，锐角三角函数、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．