Question

13．如图（1）是矩形纸片ABCD连续两次对折展开平铺后的图形，折痕分别为EF，MN，GH．
（1）如图（2），连接BD，与折痕GH，EF，MN分别交于点S，O，T，求证：OE=OF；
（2）如图（3），连接ET并延长交CD于点Q，连接FS并延长交AB于点P，连接EP，FQ．求证：四边形EPFQ是菱形；
（3）若四边形EPFQ是正方形，则矩形ABCD需满足的条件是AB=AD．

Answer 1

分析 （1）根据矩形性质得：AD=BC，AD∥BC，由对折性质可知：ED=BF，证明△EOD≌△FOB可得OE=OF；
（2）连接OA，由全等得：OB=OD，所以A、O、C共线，根据平行线分线段成比例定理得比例式得出DT=OT，根据一组对边平行且相等得四边形EPFQ为平行四边形，再利用△APE≌△DQE，得PE=EQ，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形，得?EPFQ是菱形；
（3）添加AB=AD后，四边形EPFQ是正方形；证明△APE和△EQD是等腰直角三角形，得∠PEQ=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形得出结论．

解答 证明：（1）如图（2），∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
由折叠得：G、E、M将AD四等分，
∴ED=BF，
∵∠EOD=∠FOB，
∴△EOD≌△FOB，
∴OE=OF；
（2）由（1）得：△EOD≌△FOB，
∴OD=OB，
连接AC，
∴A、O、C共线，
∵GT∥EO，
∴$\frac{DG}{EG}=\frac{DT}{OT}$=1，
∴DT=OT，
∵AE=ED，OT=DT，
∴ET∥AC，ET=$\frac{1}{2}$AO，
即EQ∥AC，
同理得：TQ=$\frac{1}{2}$OC，
∴EQ=$\frac{1}{2}$AC，
同理得：PF=$\frac{1}{2}$AC，PF∥AC，
∴PF=EQ，PF=EQ，
∴四边形EPFQ是平行四边形，
∵PF∥AC，F是BC的中点，
∴P为AB的中点，
同理得：Q为DC的中点，
∴AP=QD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AE=AD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴△APE≌△DQE，
∴PE=EQ，
∴?EPFQ是菱形．
（3）当AB=AD时，四边形EPFQ是正方形，理由是：
∵E是AD的中点，P是AB的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，AP=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=AD，
∴AP=AE，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴∠AEP=45°，
同理∠QED=45°，
∴∠PEQ=90°，
由（2）得：四边形EPFQ是菱形，
∴四边形EPFQ是正方形；
故答案为：AB=AD．

点评 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形、正方形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、三角形全等及平行线分线段成比例定理等知识，难度适中，熟练掌握特殊四边形的判定是关键．