Question

5．如图，两张宽度相等的纸条叠放在一起，重叠部分构成四边形ABCD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若纸条宽3cm，∠ABC=60°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
（2）解直角三角形求得菱形的边长，根据平行四边形的面积公式求得即可．

解答 解：（1）过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE=AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S_?ABCD=BC•AE=CD•AF．
又∵AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠ABC=60°，AE=3cm，
∴AB=$\frac{AE}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$cm，
∴BC=2$\sqrt{3}$cm，
∴四边形ABCD的面积=AE•BC=6$\sqrt{3}$cm²．

点评 本题考查了菱形的判定、解直角三角形以及四边形的面积，证得四边形为菱形是解题的关键．．