Question

3．2009年我市荣获“国家卫生城市”称号，是全市人民共同努力的结果，可喜可贺！
（1）在“创卫”过程中，要在东西方向M、N两地之间修建一条公路，已知：如图，C点周围180m范围内为文物保护区，在MN上点A处测得C在A的北偏东60°方向上，从A向东走500m到达B处，测得C在B的北偏西45°方向上，MN是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732）
（2）在“创卫”过程中，通过拆旧房、植草、栽树、修建公园等措施使城区绿化面积不断增加，2006年年底城区绿化面积为60公顷，计划到2008年年底城区绿化面积达到72.6公顷，试求2007和2008年两年绿化面积的年平均增长率？

Answer 1

分析 （1）作CD⊥AB于点D，设CD=x，由∠CBA=45°知CD=BD=x，由AB=500知AD=500-x，根据tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$列方程求解可得；
（2）设2007和2008年两年绿化面积的年平均增长率为x，根据到2008年年底城区绿化面积达到72.6公顷，列出方程求解可得．

解答 解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，

设CD=xm，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠CBA=45°，
∴∠DCB=∠CBA=45°，
∴CD=BD=x，
∵AB=500，
∴AD=500-x，
在Rt△ADC中，tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$，
即tan30°=$\frac{x}{500-x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得x=$\frac{750（\sqrt{3}-1）}{3}$≈183＞180，
∴不会穿过保护区；

（2）设2007和2008年两年绿化面积的年平均增长率为x，
根据题意得：60（1+x）²=72.6，
解得：x₁=0.1   x₂=-2.1（不符合题意，舍去），
答：2007年和2008年两年绿化面积的年平均增长率为10%．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用及一元二次方程的应用，熟练掌握解关于仰角、俯角问题的直角三角形及一元二次方程中关于增长率问题．