Question

17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．
（1）求证：EA与⊙O相切；
（2）若CE=3，CF=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OC，则∠OCE=90°，由D为中点可知EO⊥AC，则有CE=AE，可得∠ECA=∠EAC，且∠OCA=∠OAC，利用角的和差可求得∠EAO=90°，可知EA为切线；
（2）连接BC，可证明△FBC∽△FCA，再由切线长定理可知CE=AE，在Rt△AEF中可求得AF=8，再利用线段的比可求得AB的长，可得半径．

解答 （1）证明：如图，连接OC，
∵EF为切线，
∴∠OCE=90°，
∵D为AC中点，
∴OE⊥AC，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC+∠EAC=∠OCA+∠ECA=90°，
即∠EAO=90°，
∴EA为⊙O的切线；

（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵EF为切线，
∴∠BCF+∠BCO=90°，且∠BCO=∠CBA，
∴∠BCF=∠CAF，
∴△BCF∽△CAF，
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{BF}{CF}$，
由（1）知EA为⊙O切线，则EA=EC=3，EF=EC+FC=5，
在Rt△AEF中，可求得AF=4，
∴$\frac{2}{4}=\frac{BF}{2}$，解得BF=1，
∴AB=AF-BF=3，
∴⊙O的半径为$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定和性质，在（2）中利用相似求得BF的长是解题的关键．