Question

18．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，点D为射线AO上任意一点（不与点A重合），以点D为圆心的圆始终与AB所在直线相切，在点D沿着射线AO平移的过程中，⊙D与x轴相切时，其半径为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图1，当⊙D与x轴相切时，且⊙D在x轴的上方，即⊙D是△ABC的内切圆，连接BD，由△ABC是边长为6的等边三角形，得到∠DBO=30°，BO=3，求得半径OD=BO•tan30°=$\sqrt{3}$；
如图2当⊙D与x轴相切时，且⊙D在x轴的下方，设⊙D与直线AB相切于E，连接DE，有△ABC是边长为6的等边三角形，得到∠EAD=30°，AO=3$\sqrt{3}$，∠AED=90°求得半径DE=3$\sqrt{3}$．

解答 解：如图1，当⊙D与x轴相切时，且⊙D在x轴的上方，
即⊙D是△ABC的内切圆，
连接BD，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠DBO=30°，BO=3，
∴OD=BO•tan30°=$\sqrt{3}$；

如图2，当⊙D与x轴相切时，且⊙D在x轴的下方，
设⊙D与直线AB相切于E，连接DE，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠EAD=30°，AO=3$\sqrt{3}$，∠AED=90°
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$+DE），
∴DE=3$\sqrt{3}$，
∴⊙D的半径为；$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$，
故选C．

点评 本题考查了切线的性质，坐标与图形的关系，等边三角形的性质，三角函数，正确的画出图形是解题的关键．