Question

6．（1）如图1，是边长为1的正方形组成的网格，请在其中画出边长为$\sqrt{17}$，$\sqrt{13}$，$\sqrt{10}$的三角形；
（2）计算（1）小题所画三角形的面积；
（3）如图2，分别以△ABC的边AB，CA，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACGF和正方形BCIH，已知三个正方形面积分别是17，10，13，直接写出图2中六边形DHIGFE的面积．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理，结合网格结构画出边长为$\sqrt{17}$，$\sqrt{13}$，$\sqrt{10}$的三角形即可；
（2）利用割补法求面积即可；
（3）根据△ABC的面积，利用割补法即可求出六边形DHIGFE的面积．

解答 解：（1）如图所示，△ABC即为所求．


（2）S_△ABC=3×4-4×1÷2-3×1÷2-3×2÷2=12-2-1.5-3=5.5；

（3）如图2①中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．

∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，
∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°，
∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．
∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，
∴∠EAH=∠BAC，
∵AF=AC，
∴AH=AB，
在△AEH和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAB=∠BAC}\\{AH=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△ABC，
∴S_△AEF=S_△AEH=S_△ABC，
∴S_六边形=17+13+10+4×5.5=62．

点评 本题考查作图-应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，搞清楚互补三角形的面积相等，学会利用割补法求面积，属于中考常考题型．