Question

17．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC中BC∥OA，∠COP=∠BAO=60°，OC=AB=4，OA=7，点P为x轴上一个动点，点P不与点O、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．
（1）求点BC长；
（2）当点P运动到什么位置时，△OCP是等腰三角形，求这时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且CP=PD，求这时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图，作CN⊥OA于N，BM⊥OA于M．首先证明Rt△OCN≌△Rt△ABM，推出ON=BM，再证明BC=MN，求出ON的值即可解决问题．
（2）分三种情形分别讨论①OC=OP．②CO=CP．③PO=PC．分别求解即可．
（3）只要证明△COP≌△PAD，推出AP=OC=4，推出OP=3即可解决问题．

解答 解：（1）如图，作CN⊥OA于N，BM⊥OA于M．
∵BC∥OA，
∴CN=BM，∵CN∥BM，
∴四边形CNMB是平行四边形，
∴BC=MN，
在Rt△OCN和Rt△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=AB}\\{CN=BM}\end{array}\right.$，
∴Rt△OCN≌△Rt△ABM（HL），
∴ON=BM，
在Rt△OCN中，∵∠CNO=90°，OC=4，∠CON=60°，
∴∠OCN=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴BC=MN=OA-2ON=7-4=3．

（2）①若点P在x负半轴上，OC=OP时，
∵∠COA=60°，
∴∠COP=120°，
∴△OCP为顶角120°的等腰三角形，
∴OP=OC=4，
∴P（-4，0），
若点P在x的正半轴上，OP=OC=4，P（4，0），
∴点P的坐标为（4，0）或（-4，0）．

②当OC=CP时，由题意可得C的横坐标为：4×cos60°=2，
∴P点坐标为（4，0）．

③当OP=CP时，
∵∠COA=60°，∴△OPC是等边三角形，同①可得出P（4，0）．
综上可得点P的坐标为（4，0）或（-4，0）．

（3）∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°，
∴∠OPC+∠DPA=120°，
又∵∠PDA+∠DPA=120°，
∴∠OPC=∠PDA，
∵∠COP=∠A=60°CP=PD，
∴△COP≌△PAD，
∴AP=OC=4，
∴OP=3，
∴P点坐标为（3，0）．

点评 本题考查四边形综合题、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．