Question

6．如图，⊙O的半径为2，点P是⊙O外的一点，PO=5，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时，PA的长度为$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 连接OA、OC（C为切点），过点O作OB⊥AP．根据题意可知四边形BOCD为矩形，从而可知：BP=4+x，设AB的长为x，在Rt△AOB和Rt△OBP中，由勾股定理列出关于x的方程解得x的长，从而可计算出PA的长度．

解答 解：如图所示．连接OA、OC（C为切点），过点O作OB⊥AP．
设AB的长为x，在Rt△AOB中，OB²=OA²-AB²=4-x²，
∵l与圆相切，
∴OC⊥l．
∵∠OBD=∠OCD=∠CDB=90°，
∴四边形BOCD为矩形．
∴BD=OC=2．
∵直线l垂直平分PA，
∴PD=BD+AB=2+x．
∴PB=4+x．
在Rt△OBP中，OP²=OB²+PB²，即4-x²+（4+x）²=5²，解得x=$\frac{5}{8}$．
PA=2AD=2×（$\frac{5}{8}$+2）=$\frac{21}{4}$．
故答案为$\frac{21}{4}$．

点评 本题主要考查的是勾股定理、切线的性质、矩形的性质和判定的综合应用，列出关于x的方程是解题的关键．