题目内容
15．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）图1中的△ABC的BC边上有一点D，线段AD将△ABC分成两个互补三角形，则点D在BC边的中点处．
（2）证明：图2中的△ABC分割成两个互补三角形面积相等；
（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI，已知三个正方形面积分别是17、13、10．则图3中六边形DEFGHI的面积为62．（提示：可先利用图4求出△ABC的面积）
分析 （1）作BC边上的中线AD即可．
（2）根据互补三角形的定义证明即可．
（3）画出图形后，利用割补法求面积即可．
解答 
解：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形；
故答案为：中点．
（2）如图2所示：
延长FA到点H，使得AH=AF，
连接EH．
∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，
∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°，
∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．
∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，
∴∠EAH=∠BAC，
∵AF=AC，
∴AH=AB，
在△AEH和△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}&{\;}\\{∠EAB=∠BAC}&{\;}\\{AH=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△ABC，
∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．
（3）边长为$\sqrt{17}$、$\sqrt{13}$、$\sqrt{10}$的三角形如图4所示．
∵S△ABC=3×4-2-1.5-3=5.5，
∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62；
故答案为：62．
点评 本题考查作图-应用与设计，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，搞清楚互补三角形的面积相等，学会利用割补法求面积，学会利用平移添加辅助线，属于中考常考题型．
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