Question

17．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：

单价（元/件）	30	34	38	40	42
销量（件）	40	32	24	20	16

（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
（3）为保证产品在实际试销中销售量不得低于30件，且工厂获得得利润不得低于400元，请直接写出单价x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设y=kx+b，根据表中数据，利用待定系数法求解可得；
（2）设工厂获得的利润为w元，根据：“总利润=每件利润×销售量”，列函数解析式并配方可得其最值情况；
（3）根据销售量≥30件、获得的利润≥400元列不等式组，解不等式组可得．

解答 解：（1）设y=kx+b，
将x=30、y=40，x=34、y=32，代入y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=40}\\{34k+b=32}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=100}\end{array}\right.$，
∴y关于x的函数关系式为：y=-2x+100；
（2）设定价为x元时，工厂获得的利润为w元，
则w=（x-20）•y=-2x²+140x-2000=-2（x-35）²+450
∴当x=35时，w的最大值为450元．
（3）根据题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{-2x+100≥30}\\{-2{x}^{2}+140x-2000≥400}\end{array}\right.$，
解得：30≤x≤35．

点评 本题考查了二次函数的应用：先根据实际问题得到二次函数的解析式y=ax²+bx+c（a≠0），再得到顶点式y=a（x+$\frac{b}{2a}$）²+$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，当a＜0，二次函数有最大值，即x=-$\frac{b}{2a}$时，y的最大值为$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，然后利用二次函数的性质解决有关问题．也考查了待定系数法求函数的解析式以及一次函数的应用．