Question

已知二次函数y=ax²+bx+c，且不等式ax²+bx+c＞-2x的解为1＜x＜3
（1）若方程ax²+bx+c+6a=0有两个相等的根，求二次函数的表达式；
（2）若y=ax²+bx+c的最大值为正数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的最值

专题：

分析：（1）根据题意得出二次函数y=ax²+bx+c的图象和直线y=-2x的交点为（1，-2），（3，-6），再根据方程ax²+bx+c+6a=0有两个相等的根得出关于a、b、c的方程组，解方程组即可求得a、b、c的值，进而求得解析式．
（2）先求得b=-2-4a，c=3a，根据题意b²-4ac＞0，把b=-2-4a，c=3a代入即可求得a的取值．

解答：解：（1）∵不等式ax²+bx+c＞-2x的解为1＜x＜3，
∴二次函数y=ax²+bx+c的图象和直线y=-2x的交点为（1，-2），（3，-6），
根据题意得

a+b+c=-2 9a+3b+c=-6 b2-4a(c+6a)=0

，
解得

a=- 1 5 b=- 6 5 c=- 3 5

或

a=1 b=-6 c=3

（不合题意，舍去），
∴二次函数的表达式为y=-

1

5

x²-

6

5

x-

3

5

．

（2））∵不等式ax²+bx+c＞-2x的解为1＜x＜3，
∴二次函数y=ax²+bx+c的图象和直线y=-2x的交点为（1，-2），（3，-6），a＜0，
∴

a+b+c=-2 9a+3b+c=-6

∴b=-2-4a，c=3a，
∵y=ax²+bx+c的最大值为正数，
∴b²-4ac＞0，
即（-2-4a）²-4a•3a＞0，解得a＞-2+

3

或a＜-2-

3

．
所以a的取值为a＞-2+

3

或a＜-2-

3

．

点评：本题考查了二次函数与x轴的交点，待定系数法求解析式，主要运用的是方程的根与系数的关系．