Question

14．已知正三角形的面积是$\frac{3}{4}\sqrt{3}$cm，则正三角形外接圆的半径是1cm．

Answer 1

分析 如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，根据等边三角形的性质得BH=CH，∠BAH=30°，利用垂径定理的推理可判断点O在AH上，连结OB，则∠BOH=2∠BAO=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系可得OH=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$r，BH=$\sqrt{3}$OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，则BC=2BH=$\sqrt{3}$r，然后根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•（r+$\frac{1}{2}$r）•$\sqrt{3}$r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，再解方程即可．

解答 解：如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，设⊙O的半径为r，
作AH⊥BC于H，
∵△ABC为等边三角形，AH⊥BC，
∴BH=CH，∠BAH=30°，
∴点O在AH上，
连结OB，则∠BOH=2∠BAO=60°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$r，BH=$\sqrt{3}$OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴BC=2BH=$\sqrt{3}$r，
∵正三角形的面积是$\frac{3}{4}\sqrt{3}$cm，
∴$\frac{1}{2}$AH•BC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，即$\frac{1}{2}$•（r+$\frac{1}{2}$r）•$\sqrt{3}$r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴r=1，
即正三角形外接圆的半径是1cm．
故答案为1．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．解决本题的关键是灵活应用等边三角形的性质．