Question

19．如图，已知一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为4，则AC的长为4$\sqrt{2}$（保留根号）．

Answer 1

分析 由于△AOB的面积为4，根据反比例函数的比例系数k的几何意义可知k=8，解由y=x+2与y=$\frac{8}{x}$联立起来的方程组，得出A点坐标，又易求点C的坐标，从而利用勾股定理求出AC的长．

解答 解：∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为4，
∴k=8．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴A（2，4）；
在y=x+2中，令y=0，得x=-2．
∴C（-2，0）．
∴AB=4，BC=4，
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
故答案为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=$\frac{1}{2}$|k|．