Question

9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E、F是⊙O上两点，连接AE、CF、DF，满足EA=CA．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，tan∠CFD=$\frac{4}{3}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，OE，易证△AOC≌△AOE（SSS），从而可知∠OEA=∠ACB=90°，所以AE是⊙O的切线．
（2）连接CD，因为∠CBA=∠CFD，所以tan∠CBA=tan∠CFD=$\frac{4}{3}$，从而可求出AC=8，利用勾股定理即可求出AB=10，再证明△ADC∽△ACB，从而可求出AD的长度．

解答 解：（1）连接OA，OE，
在△AOC与△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{OC=OE}\\{OA=OA}\end{array}\right.$
∴△AOC≌△AOE（SSS）
∴∠OEA=∠ACB=90°，
∴OE⊥AE，
∴AE是⊙O的切线
（2）连接CD
∵∠CBA=∠CFD
∴tan∠CBA=tan∠CFD=$\frac{4}{3}$，
∵在Rt△ACB中，
tan∠CBA=$\frac{CA}{CB}$=$\frac{CA}{6}$=$\frac{4}{3}$
∴AC=8
∴由勾股定理可知：AB=10，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CDB=∠ADC=90°，
∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AD=6.4

点评 本题考查圆的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理等知识，综合程度较高，属于中等题型．