Question

3．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的度数比为4：5：6，以AP为边作正△APD，连接DC，则△PDC的三个内角度数从小到大的比为3：5：9．

Answer 1

分析 可先求出∠APB、∠BPC、∠CPA的度数，就能求出∠DPC的度数，然后证明△APB和△ADC全等，从而证出∠APB=∠ADC，继而求出∠PDC的度数，从而能求出三个角的度数并能求出比值．

解答 解：∵∠APB、∠BPC、∠CPA的度数比为4：5：6，
∴∠APB=360°×$\frac{4}{15}$=96°，
∠BPC=360°×$\frac{5}{15}$=120°，
∠CPA=360°×$\frac{7}{15}$=168°，
∴∠DPC=168°-60°=108°，
在△APB和△ADC中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAP=∠CAD}\\{AP=AD}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△ADC，
∴∠APB=∠ADC=96°，
∴∠PDC=96°-60°=36°，
∴∠PCD=180°-36°-108°=36°，
36：60：108=3：5：9．
故答案为：3：5：9

点评 本题考查周角的概念，等边三角形的三条边相等三个角为60°以及全等三角形的判定和性质．