Question

11．已知正方形ABCD的边长为2，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM．
（1）如图（1），若点M在线段AB上，则AP与BN的位置关系是AP⊥BN，AM与AN的数量关系是AM=AN；
（2）①如图（2），在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，（1）中的关系是否仍然成立（给出证明）？
②在运动过程中，PC的最小值为$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的性质得到∠PAM=∠PBC，根据正方形的性质证明，得到AP⊥BN，根据相似三角形的对应边的比线段求出AM与AN的数量关系；
（2）①同（1）的证明方法类似；
②根据圆周角定理得到点P在以AB为直径的圆上，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）∵△PBC∽△PAM，
∴∠PAM=∠PBC，
∵∠PBC+∠ABP=90°，
∴∠PAM+∠ABP=90°，即∠APB=90°，
∴AP⊥BN，
∵△PBC∽△PAM，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{PC}{PM}$=$\frac{BC}{AM}$，
∵∠APB=90°，∠NAB=90°，
∴△BPA∽△BAN，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{BC}{AM}$=$\frac{AB}{AN}$，
∴AM=AN，
故答案为：AP⊥BN；AM=AN；
（2）①成立．
∵△PBC∽△PAM，
∴∠PAM=∠PBC，
∵∠PBC+∠ABP=90°，
∴∠PAM+∠ABP=90°，即∠APB=90°，
∴AP⊥BN，
∵△PBC∽△PAM，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{PC}{PM}$=$\frac{BC}{AM}$，
∵∠APB=90°，∠NAB=90°，
∴△BPA∽△BAN，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{BC}{AM}$=$\frac{AB}{AN}$，
∴AM=AN；
②∵AP⊥BN，
∴点P在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为O，连接CO，
则OC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
则PC的最小值为$\sqrt{5}$-2，
故答案为：$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．