Question

8．如图所示，正方形ABCD中，AB=1，点E从点B出发到点A做匀速运动，点P从点D开始到点A做匀速运动，且BP⊥CE，垂足为点F，连接PE．
（1）设BP=x，CF=y，求y与x之间函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）若CF=2EF，求BP的长；
（3）是否存在点P，使得△AEP与△BEC相似？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明△BFC∽△PAB，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；
（2）证明△BAP≌△CBE，根据全等三角形的性质得到CE=BP，根据题意列出方程，解方程即可；
（3）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

解答 解：（1）∵BP⊥CE，
∴∠FEB+∠FBE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠FEB+∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠FBE，又∠BFC=∠PAB=90°，
∴△BFC∽△PAB，
∴$\frac{CF}{AB}$=$\frac{BC}{BP}$，即$\frac{y}{1}$=$\frac{1}{x}$，
整理得，y=$\frac{1}{x}$，（1≤x≤$\sqrt{2}$）；
（2）在△BAP和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠BCE}\\{AB=BC}\\{∠BAP=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△CBE，
∴CE=BP=x，
∵CF=2EF，
∴y=$\frac{2}{3}$x，又y=$\frac{1}{x}$，
解得，x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
答：BP=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（3）由（2）得，△BAP≌△CBE，
∴BE=AP，
设AP=x，则BE=x，AE=1-x，
当△AEP∽△BCE时，$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AP}{BE}$，即$\frac{1-x}{1}$=1，
解得，x=0；
当△AEP∽△BEC时，$\frac{AP}{BC}$=$\frac{AE}{BE}$，即$\frac{x}{1}$=$\frac{1-x}{x}$，
解得，x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∴当AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时，△AEP与△BEC相似．

点评 本题考查的是相似三角形的性质、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．