Question

12．如图，在平面直角坐标系中，△OBA∽△DOC，点A、C都在x轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），∠BAO=∠OCD=90°，OD=5．
（1）求点D的坐标．
（2）判断以点D为圆心，以CD为半径的圆与AB所在直线的位置关系，并通过计算说明理由．
（3）以点D为圆心，以r为半径的圆与x轴和y轴共有三个公共点，求r的值．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的性质求出OC、DC的长，得到点D的坐标；
（2）根据直线与圆的位置关系解答；
（3）根据直线与圆相切和相交的判定方法解答．

解答 解：（1）∵点B的坐标为（6，8），
∴OA=6，AB=8，
∵△OBA∽△DOC，
∴$\frac{CD}{OC}$=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
设CD=3x，则OC=4x，
由勾股定理得，（3x）²+（4x）²=25，
解得，x=1，
则CD=3x=3，则OC=4x=4，
∴点D的坐标为（4，3）；
（2）作DE⊥AB于E，
则四边形AEDC是矩形，
∴AC=DE，
∵OA=6，OC=4，
∴AC=2，
∴DE＜DC，
∴以点D为圆心，以CD为半径的圆与AB所在直线相交；
（3）∵OC=4，
∴以点D为圆心，以4为半径的圆与x轴和y轴共有三个公共点，
∴r=4．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．