Question

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s的速度沿折线C→A→B向点B运动，同时，点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为ts（0＜t＜8）．
（1）AB=10cm，sinB=$\frac{3}{5}$；
（2）当△BDE是直角三角形时，求t的值；
（3）若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，
①设?CDEF的面积为Scm²，求S于t的函数关系式；
②是否存在某个时刻t，使?CDEF为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股定理和三角函数计算；
（2）当△BDE是直角三角形时，∠B不可能为直角，所以分两种情况讨论：i）图1，当∠BED=90°时；ii）图2，当∠EDB=90°时；利用相似求边，再利用同角三角函数值列等式计算求出t的值；
（3）①根据点D的位置分两种情况讨论：点D在边AC上时，0＜t≤3；点D在边AB上时，3＜t＜8；?CDEF的面积都等于△CDE面积的二倍；
②当?CDEF为菱形，对角线CE和DF互相垂直且平分，利用BH=BE+EH列式计算．

解答 解：（1）由勾股定理得：AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
sinB=$\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
故答案为：10，$\frac{3}{5}$；
（2）如图1，当∠BED=90°时，△BDE是直角三角形，
则BE=t，AC+AD=2t，
∴BD=6+10-2t=16-2t，
∵∠BED=∠C=90°，
∴DE∥AC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}$，
∴$\frac{t}{8}=\frac{DE}{6}$，
∴DE=$\frac{3t}{4}$，
∵sinB=$\frac{DE}{BD}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{\frac{3t}{4}}{16-2t}$=$\frac{3}{5}$，
t=$\frac{64}{13}$；
如图2，当∠EDB=90°时，△BDE是直角三角形，
则BE=t，BD=16-2t，
cosB=$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{8}{10}$，
∴$\frac{16-2t}{t}$=$\frac{8}{10}$，
∴t=$\frac{40}{7}$；
答：当△BDE是直角三角形时，t的值为$\frac{64}{13}$或$\frac{40}{7}$；
（3）①如图3，当0＜t≤3时，BE=t，CD=2t，CE=8-t，
∴S_?CDEF=2S_△CDE=2×$\frac{1}{2}$×2t×（8-t）=-2t²+16t，
如图4，当3＜t＜8时，BE=t，CE=8-t，
过D作DH⊥BC，垂足为H，
∴DH∥AC，
∴$\frac{DH}{AC}=\frac{BD}{AB}$，
∴$\frac{DH}{6}=\frac{16-2t}{10}$，
∴DH=$\frac{3（16-2t）}{5}$，
∴S_?CDEF=2S_△CDE=2×$\frac{1}{2}$×CE×DH=CE×DH=（8-t）•$\frac{3（16-2t）}{5}$=$\frac{6}{5}{t}^{2}-\frac{96}{5}t+\frac{384}{5}$；
∴S于t的函数关系式为：当0＜t≤3时，S=-2t²+16t，
当3＜t＜8时，S=$\frac{6}{5}{t}^{2}-\frac{96}{5}t+\frac{384}{5}$；
②存在，如图5，当?CDEF为菱形时，DH⊥CE，
由CD=DE得：CH=HE，
BH=$\frac{4（16-2t）}{5}$，BE=t，EH=$\frac{8-t}{2}$，
∴BH=BE+EH，
∴$\frac{4（16-2t）}{5}$=t+$\frac{8-t}{2}$，
∴t=$\frac{88}{21}$，
即当t=$\frac{88}{21}$时，?CDEF为菱形．

点评 本题是四边形和三角形的综合问题，以两个动点为背景，考查了平行四边形、菱形、直角三角形的性质，考查了利用平行线分线段成比例定理求边长或表示边长；难度适中，是一个不错的四边形的综合题．