Question

1．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．

（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是2；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为$\sqrt{5}$；
（2）若点B落在x轴上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式；
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，请在图3中画出并求出点M随线段BC运动围成的封闭图形的周长．

Answer 1

分析 （1）理解新定义，按照新定义的要求求出两个距离值；
（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：
当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；
当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长；
（3）在准确理解点M运动轨迹的基础上，画出草图，如答图3所示．由图形可以直观求出封闭图形的周长．

解答 解：（1）当m=2，n=2时，
如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段BN的长）=2；
当m=5，n=2时，
B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，
如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{N}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：2，$\sqrt{5}$；

（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：
当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；
当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，
ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：
∴d=$\sqrt{{2}^{2}-（4-m）^{2}}$=$\sqrt{-{m}^{2}+8m-12}$．

（3）依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：
由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，
其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．

点评 本题考查了圆的相关性质、点的坐标、勾股定理、解方程等重要知识点，难度较大．本题涉及动线与动点，运动过程比较复杂，准确理解运动过程是解决本题的关键．第（3）问中，关键是画出点M运动轨迹的图形，结合图形求解一目了然；