Question

17．如图，过原点的直线交y=$\frac{4}{x}$，y=$\frac{1}{x}$于B，A两点，AC∥x轴交y=$\frac{4}{x}$于C点，连接OC，则S_△OBC=3．

Answer 1

分析 过B作BD⊥x轴于D，C作CE⊥x轴于E，则BD∥CE，设B（m，$\frac{4}{m}$），C（n，$\frac{4}{n}$），于是得到A（$\frac{n}{4}$，$\frac{4}{n}$），求得BD=$\frac{4}{m}$，CE=$\frac{4}{n}$，DE=n-m，AC=n-$\frac{n}{4}$=$\frac{3n}{4}$，由于S_△OBC=S_△ACO+S_△ABC=S_梯形BDEC，得到方程$\frac{1}{2}$×$\frac{3n}{4}$×$\frac{4}{n}$+$\frac{1}{2}×$$\frac{3n}{4}$×（$\frac{4}{m}$-$\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{2}×$（$\frac{4}{n}+\frac{4}{m}$）（n-m），解得n=2m，于是得到结论．

解答 解：过B作BD⊥x轴于D，C作CE⊥x轴于E，
则BD∥CE，
设B（m，$\frac{4}{m}$），C（n，$\frac{4}{n}$），
∵AC∥x轴，
∴A（$\frac{n}{4}$，$\frac{4}{n}$），
∴BD=$\frac{4}{m}$，CE=$\frac{4}{n}$，DE=n-m，AC=n-$\frac{n}{4}$=$\frac{3n}{4}$，
∵S_△OBC=S_△ACO+S_△ABC=S_梯形BDEC，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{3n}{4}$×$\frac{4}{n}$+$\frac{1}{2}×$$\frac{3n}{4}$×（$\frac{4}{m}$-$\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{2}×$（$\frac{4}{n}+\frac{4}{m}$）（n-m），
解得：n=2m，
∴S_△OBC=S_梯形BDEC=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{m}$×m=3，
故答案为：3，

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，梯形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．