Question

17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，∠ADE=∠CBF．不添加字母及辅助线，写出图中两对全等三角形，并选一对进行证明．

Answer 1

分析 图中的相似三角形有：△ADE≌△CBF、△ABF≌△CDE、△ABC≌△CDA．

解答 ①△ADE≌△CBF （或△ABF≌△CDE，△ABC≌△CDA）
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE 和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CBF}\\{∠DAE=∠CBF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF （AAS）；

②△ABF≌△CDE．
证明：∵△ADE≌△CBF，
∴AD=BC．
∵AD∥BC，
∴∠BAF=∠DCE
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE
在△ABF 和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAF=∠DCA}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（SAS）；

③△ABC≌△CDA，
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABC与△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DCA}\\{AC=CA}\\{∠BCA=∠CAD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA（ASA）．

点评 本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的判定定理与平行四边形的性质．