Question

17．如图，在直角坐标系中，直线y₁=2x-2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于点C，过点D作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：
①S_△ADB=S_△ADC；②当0＜x＜3时，y₁＜y₂；③如图，当x=3时，EF=$\frac{8}{3}$；④方程2x²-2x-k=0有解．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据题意可以求得AD、OA的长，点C和点B的坐标，从而可以求出△ADB和△ADC的面积，从而可以判断该结论是否正确；
②根据函数图象可以判断该结论是否正确；
③根据函数图象可以得到0＜x＜3时，两个函数的大小情况，从而可以判断该结论是否成立；
④根据两个函数图象有交点，然后联立方程组可知有解，通过变形可以得到方程2x²-2x-k=0，从而可以判断该结论是否正确．

解答 解：将x=0代入y₁=2x-2得，y=-2；将y=0代入y₁=2x-2得x=1，
即点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，-2），
∵OA=AD，
∴点D的坐标是（2，0），
将x=2代入y₁=2x-2得，y=2，
∴点C的坐标是（2，2），
∴${S}_{△ADB}=\frac{AD×OB}{2}=\frac{1×2}{2}=1$，${S}_{△ADC}=\frac{AD•CD}{2}=\frac{1×2}{2}=1$，故①正确；
由图象可知，当0＜x＜2时，y₁＜y₂，当x＞2时，y₁＞y₂；故②错误；
∵点C（2，2）在双曲线y₂=$\frac{k}{x}$上，
∴$2=\frac{k}{2}$，得k=4，
∴双曲线y₂=$\frac{4}{x}$，
将x=3代入双曲线y₂=$\frac{4}{x}$，得y=$\frac{4}{3}$；将x=3代入y₁=2x-2得y=4，
∴EF=$4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，故③正确；
由图象可知，y₁=2x-2与y₂=$\frac{k}{x}$在第一象限有解，
∴2x-2=$\frac{k}{x}$有解，
即2x²-2x-k=0有解，故④正确；
由上可得，①③④正确．
故选C．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．